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LOGIK - MEINE THEMEN UND THEORIEN
(07. 04. 2012)
Ich habe ein vollständiges eigenes Logik-System („IntegraleLogik“) entworfen, dadurch habe ich natürlich an sehr vielen logischen Themen gearbeitet. Ich will hier die wichtigsten Punkte heraus- heben, wobei ich an dieser Stelle weitgehend auf Formalisie- rungen verzichte, um den Text möglichst allgemeinverständlich zu halten (im Einzelnen sind diese Themen in meinen beiden Logik-Büchern abgehandelt).
1. Sprach-Orientierung Die Logik geht heute (nach dem „linguistic turn“) normalerweise sprachlich von Aussagen aus, die wahr oder falsch sein können. Ich gehe dagegen normalerweise neutral von Relationen aus, die belegt sind oder nicht. Relationen können Aussagen bzw. Sätze sein, aber auch Gedanken, Sachverhalte u. a. Der Einfachheit halber beschränke ich mich im Folgenden aber oft auf Aussagen bzw. Sätze.
2. Struktur eines Satzes Die Logik unterscheidet zwischen 1–stelligen Prädikaten (…ist Pfarrer), 2-stelligen Prädikaten (… ist Vater von …) usw. Erstens ist diese Unterscheidung ohnehin relativ (kontext-abhängig), aber sie betrifft zweitens vor allem nur die syntaktische Oberflächen- struktur eines Satzes. In der entscheidenden semantischen Tiefenstruktur wäre der Satz „a ist Pfarrer“ zu deuten als „a ist Element der Klasse der Pfarrer“, also mit 2-stelligem Prädikat (… ist Element von …). Auch andere, intensionale Deutungen verweisen auf eine 2-stellige Grundstruktur, d. h. auf eine Relation.
3. Extension und Intension Normalerweise wird bis heute bestimmt: Die Extension eines Wortes ist ein Individuum (Objekt) bzw. eine Klasse von Individuen (Objekten). So gilt als Extension des Wortes „Mensch“ die reale Klasse der Menschen. Als Intension bezeichnet man einen Begriff (oder eine Eigen- schaft). So wäre die Intension des Wortes Mensch der Begriff des Menschen.
Das klingt zunächst überzeugend, ist aber bei genauer Analyse nicht aufrechtzuerhalten. In der Klasse der Menschen werden die einzelnen Menschen mit ihren konkreten, individuellen Eigen- schaften erfasst. Diese reale Klasse kann man aber nicht als Extension bestimmen. Sonst wäre jeder Satz über Menschen analytisch bzw. redundant, denn in der Extension des Wortes „Mensch“ wären bereits alleI nformationen über jeden einzelnen Menschen enthalten.
Man kann nur sagen, die Extension des Wortes Mensch ist die abstrakte Klasse ‚Mensch’, in der die einzelnen Menschen nur mit ihrer kollektiven Eigenschaft ‚Mensch’ erfasst werden.
Als Extension eines Satzes wird in der Logik üblicherweise der Wahrheitswert des Satzes bestimmt, als Intension sein Wahrheitswert in allen möglichen Welten. Diese Theorie besitzt den Vorteil der Eleganz, nur leider den Nachteil, dass sie unbrauchbar ist. Denn danach besäßen ja alle wahren Sätze dieselbe Extension, eben den Wahrheitswert „wahr“.
Ich habe dargelegt, dass vielmehr gilt: Die Extension einesSatzes ist ein Sachverhalt (eine Relation zwischen „Sachen“ bzw. Objekten) oder eine Relation zwischen Sachverhalten. Als Extension des Satzes „Sokrates ist Philosoph“ kann man den Sachverhalt bestimmen, dass Sokrates Element der Klasse der Philosophen ist.
Die Intension eines Satzes ist eine Relation zwischen Begriffen („Begriffsverhalt“ analog Sachverhalt) bzw. eine Relation zwischen Begriffsverhalten (wegen der Kompliziertheit verzichte ich hier auf ein Beispiel).
4. Konstanten und Variablen In der Logik unterscheidet man zwischen Konstanten und Variablen: Konstanten sind Wörter (Terme) mit feststehender Bedeutung, z. B. der Name „Karl Raimund Popper“ für den bekannten Philosophen. Variablen sind quasi Leerstellen, für die man Konstanten einsetzen kann. So kann man für die Variable „x“ in „x ist Philosoph“ verschiedene Namen einsetzen wie z. B. "Sokrates", "Aristoteles" usw.
Nun arbeitet die formale Logik ja ausschließlich mit formalen Termen, z. B. „a“, „b“ und „c“ für Konstanten und „x“ und „y“ für Variablen. Ich habe erstens gezeigt, dass die Unterscheidung zwischen Konstanten und Variablen bei formalen Termen letztlich willkürlich ist, letztlich ist "a" auch eine Variable.
Zweitens habe ich gezeigt, dass man nicht nur qualitativ zwischen Konstanten und Variablen unterscheiden sollte, sondern besser einen quantitativen Begriff der Konstanz (bzw.Variabilität) einführt; man kann ihn Bestimmtheitsgrad nennen. Der wird definiert als 1/durch Anzahl der erlaubten Möglichkeiten.
Vereinfacht gesagt: Wenn man für einen Term nur eine Bedeutung einsetzen kann, ist es eine echte Konstante mit dem Bestimmt- heitsgrad 1. Je mehr Bedeutungen man einsetzen kann, desto unbestimmter wird der Term, desto geringer der Bestimmtheits- grad.
5. Aufbau der Logik Oft wird es in der Logik so dargestellt, als haben Aussagen-, Prädikaten- und Quantoren-Logik keinen inneren Zusammenhang, die eine bezieht sich eben auf Aussagen, die anderen beziehen sich auf Quantoren bzw. Prädikate.
Nach meinem Modell sind die Logiken dagegen nach ihrer quantitativen Ausdrucksmöglichkeit geordnet:
- Aussagen-Logik: sie gibt nur – implizit – die (relativen)Werte 1(100%) oder 0 (0 %) an
- Quantoren-Logik: sie kann normalerweise folgende Werte angeben: 1, < 1, 0, > 0 (die Prädikaten-Logik ist anders zu deuten)
Die Quantoren-Logik und vor allem die Aussagen-Logik sind nur Grenzwerte einer quantitativen Logik, die alle Werte zwischen 1 und 0 ausdrücken kann.
6. quantitative Logik Normal gibt es in der Aussagen-Logik nur wahr oder falsch: z. B. "wenn A, dann B": A → B. Diese SAtzverknüpfung ist wahr oder falsch. In meiner Logik kann p(A → B) aber jeden beliebigen Wert zwischen 0 und 1 annehmen. Man könnte meinen, das sei mit einer wahrscheinlichkeitstheoretischen Deutung gleichzusetzen und somit nicht innovativ. Aber in der quantitativen Logik bleibt doch die logische Struktur erhalten: p(A → B) = a+c+d / a+b+c+d (das ergibt sich aus der Wahrheitstafel, wie hier nicht erläutert werden soll)
Der wahrscheinlichkeitstheoretische Ausdruck berechnet sich aber anders: p(B / A) = a / a+b
Es geht zwar in beiden Fällen um relative Werte, also um Quotienten, die Anzahl der günstigen Fälle geteilt durch die Anzahl aller Fälle, aber die Berechnung ist doch sehr unterschiedlich.
7. Positiv-Implikation Ein zentraler Junktor in der Logik ist die Implikation → ( wenn … dann). Nun wird ein Satz A → B aber formal-logisch so interpretiert, dass er auch wahr ist, wenn der Vordersatz A falsch ist.
Das widerspricht aber der Auffassung von Wenn-dann-Sätzen in der normalen Sprache bzw. Rede. Dort wird ein Wenn-dann-Satz „wenn A, dann B“ so verstanden, dass er nur etwas für die Fälle aussagt, wenn A wahr ist, sonst bleibt der Satz unbestimmt.
Entsprechend habe ich die Positiv-Implikation A*→ B konzipiert. Sie ist für die Fälle, in denen A falsch ist, nicht definiert bzw. unbestimmt. Die Positiv-Implikation soll die normale Implikation nicht ersetzen, sondern ergänzen. In der Quantifizierung entspricht die Positiv-Implikation p(A *→ B) weitgehend der wahrscheinlich- keitstheoretischen Berechnung p(B / A).
Bei der Positiv-Implikation sind zumindest 2 Ansätze zu unterscheiden, in denen unterschiedliche logische Grundgesetze gelten:: . Symmetrie-Ansatz: (X *→ Y) *↔ ¬(X *→ ¬Y) . Asymmetrie-Ansatz: (X*→ Y) *→ ¬(X *→ ¬Y)
8. Asymmetrie zwischen All-Sätzen und Existenz-Sätzen In der herkömmlichen Logik ordnet man All-Sätzen und Partikulär-Sätzen eine unterschiedliche logische Struktur zu:
- All-Satz: (z. B. „alle Menschen sind sterblich“) wird analysiert als: Für alle x gilt: wenn sie Menschen sind, dann sind sie sterblich. Formal wird dabei der Implikator → verwendet. Wie oben beschrieben, ist die Implikation auch wahr, wenn der Vordersatz falsch ist. Dies bedeutet im Beispiel: Der Satz „alle Menschen sind sterblich“ gilt auch dann als wahr, wenn es gar keine Menschen gibt.
- Partikulär-Satz (z. B. „einige Menschen sind sterblich“) wird analysiert als: Es gibt mindestens einige x, für die gilt: sie sind Menschen und sterblich. Dieser Satz ist durch Verwendung der logischen Konjunktion „und“ nur wahr, wenn auch wirklich einige sterbliche Menschen existieren. Man nennt einen solchen Satz daher auch „Existenz-Satz“.
Meine Kritik ist, dass man diese logische Formalisierung abhän- gig gemacht hat von zufälligen syntaktischen Asymmetrien in der normalen Sprache. Man sollte All-Sätze und Partikulär-Sätze aber logisch gleich behandeln, z. B. so, dass sie beide Existenz implizieren. Das könnte man z. B. durch Verwendung der Positiv-Implikation in beiden Fällen erreichen.
9. Synthetische versus analytische Relationen Normal unterscheidet man zwischen analytischen und syntheti- schen Relationen bzw. Aussagen.
Eine analytische Relation / Aussage kann sein: . Tautologie (immer wahr), z. B. „alle Ehemänner sind verheiratet“ . Kontradiktion (immer falsch): z. B. „alle Junggesellen sind verheiratet“
Ein synthetischer Satz kann wahr oder falsch sein: z. B. "einige Junggesellen sind glücklich."
Nach meiner Theorie kann es aber auch partiell synthetische (bzw. partiell analytische oder semi-analytische) Aussagen geben: z. B. „alle Ehemänner sind glücklich verheiratet“. Das „verheiratet“ ist dabei analytisch, aber das „glücklich“ ist synthetisch. (Formal lässt sich das natürlich exakter zeigen als in der normalen Sprache.)
10. Tautologiegrad Normalerweise unterscheidet man in der Logik nur: eine Aussage ist tautologisch oder nicht. Ich ordne dagegen jedem Satz einen Tautologiegrad zu. Eine Tautologie hat einen Tautologiegrad von 1, eine Kontradiktion von 0.
Synthetische und semi-analytische Sätze liegen dazwischen. Z. B. hat die synthetische Implikation (wenn A, dann B) A → B einen Tautologiegrad von ¾, weil sie in 3 von 4 Möglichkeiten als wahr (belegt) gilt.
11. Theoretische Wahrscheinlichkeit und Informationswert Der Tautologie-Grad wird durch die theoretische Wahrscheinlich- keit berechnet. Die theoretische Wahrscheinlichkeit (oder Zufallswahrscheinlichkeit) gibt an, in wie vielen Welten (bzw. Fällen) eine Aussage wahr ist, im Verhältnis zu allen möglichen Welten (bzw. Fällen), unabhängig von den realen Verhältnissen.
Z. B. hat ein einfacher Satz „A“ eine Zufallswahrscheinlichkeit von ½, denn es gibt 2 mögliche Welten, A und nicht-A, und nur in der 1 Welt A ist „A“ eben wahr. Die Aussagenverknüpfung „A und B“ hat dagegen eine Zufallswahrscheinlichkeit von ¼, weil es 4 mögliche Welten (Kombinationen) gibt und nur in 1 Welt ist „A und B“ wahr.
Man kann die theoretische Wahrscheinlichkeit auch für quantitative logische Ausdrücke wie p(A → B) = r/n berechnen, das zeige ich in meinen Logik-Büchern.
Die theoretische Wahrscheinlichkeit ist umgekehrt proportional zum Informationsgehalt. Wie beschrieben, ist die theoretische Wahrscheinlichkeit (der Tautologiegrad) von „A → B“ genau ¾, weil „A → B“ in 3 von 4 möglichen Welten als wahr gilt.
Die Bestätigung, dass „A → B“ wahr ist, liefert daher nur noch eine geringe Information, genau besitzt „A → B“ einen Informations- gehalt von ¼. Je theoretisch unwahrscheinlicher eine Aussage ist, desto größer ihr Informationsgehalt.
12. Schlüsse Üblichweise geht man in der Logik davon aus, dass ein Schluss entweder gültig ist oder nicht – und ein ungültiger „Schluss“ gilt eben gar nicht als Schluss. Man kann aber Schlüsse durchaus quantifizieren, das spielt eine große Rolle in meiner Integralen Logik. Dadurch wird die Logik natürlich extrem erweitert.
Um zu berechnen, zu welchem Grad ein Schluss gilt, verwendet man wiederum die theoretische Wahrscheinlichkeit. Hier gilt es genau zu differenzieren:
- Einen Schluss, der (anders als der deduktive Schluss) nicht mit 100% Sicherheit erfolgt, nennt man induktiven oder induktiv-statistischen Schluss.
- Wenn man aber, wie in meiner Logik, genau den Prozentsatz berechnen kann, mit dem der Schluss gilt, kann man indirekt doch von einem deduktiven Schluss sprechen, z. B.: „Dass Y mit 53% Wahrscheinlichkeit aus X folgt, gilt mit 100%.“
13. Modallogik Die Quantitätsstufen der Logik, insbesondere der Quantoren-Logik, lassen sich auf beliebige Wirklichkeitsbereiche anwenden und finden sich entsprechend in unserer Sprache. Z. B. findet sich der All-Quantor (alle =100%) in „immer“ (Zeit), „überall“ (Ort), „notwendig“ (Modalität), „geboten“ (Norm), „überzeugt“ (Epistemik) u. a.
Von daher lässt sich z. B. eine Modal-Logik (mit Bestimmungen wie „notwendig“, „möglich“, „unmöglich“, „zufällig“ u. a.) problemlos aus der Quantoren-Logik ableiten, auch wenn viele Logiker es vorziehen, (unnötig) komplizierte, eigenständige Modelle einer Modal-Logik zu konzipieren.
Diese Quantitätsstufen sind aber nicht nur extensional, sondern auch intensional gegeben, in dem Ausmaß, in dem eine Eigen- schaft zugesprochen wird.
Wenn man z. B. sagt „Georg ist intelligent“, was meint man damit? Dass er zu 100% intelligent ist, zu über 75%, zu über 50% oder nur zu über 0%? Oder wird immer auf eine Vergleichsgruppe Bezug genommen, z. B. dass Georg intelligenter ist als der Durchschnitt? Diese sprach-logischen Verhältnisse sind sehr kompliziert und keineswegs für jedes Adjektiv bzw. jede Eigenschaft gleich. Ich verweise hierfür auf mein Buch „Integrale Logik“.
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